Lecture 02 & Reading 2.2, 2.3 矩阵消元法求解方程组

Overview

2.2主要就是介绍了消元法(elimination)的思想，从两个方程两个未知数推广到了三个方差三个未知数，然后推广到了n个方程n个未知数的情况。值得注意的是找主元的过程中，主元不能为0，有的时候需要做行交换(方程交换)来找到主元，除此之外，2.2除了成功情况外，还介绍了奇异的情况，包括无数解和无解的情况，并从row picture和column picture的角度进行了分析

2.3首先从矩阵的角度来应用消元法，其实就是对光对系数做的消元法，不过是先操作的系数矩阵A，然后有操作的b矩阵，老师说matlab的过程是这样的，并且将A和b合起来介绍了增广矩阵

在Lecture02的例子是

\begin{array}{r} x + 2 y + z = 2 \\ 3 x + 8 y + z = 12 \\ 4 y + z = 2 \end{array}

因为事实上我们在消元的过程中是做了两次选主元的消元(对于3by3的矩阵来说)，在Lecture02中 (第3个方差没有x, 所以只对第二行做了一次行变化，只能说老师取的例子很妙) 的例子那么事实上就是 $E_{32} (E_{21} A) = U$

在这里，左乘实际上是一种行变换，左乘 $E_{21}$ 意味着将A中的 $a_{21}$ 变成零，（这里是左乘的理解 -- 比如E的第一行100就是变化那之后的矩阵的第一行在A的每一行取1个，第二行取0个，第三行取0个）

但是既然左乘一个矩阵可以做行之间关系的变换，那么那就存在一个矩阵E是E32和E21的综合效果 -- 以此引出了结合律

在Lecture02中，最后老师还讲了一点逆矩阵的知识，还是对于上面左乘的知识，在Lecture中的例子是

E_{21} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

也就是说这是Lecture中例子中第一次消元做的那个行变换的矩阵

在这个矩阵中对第二行做的操作是第二行加上了第一行的-3倍

那么返回去的操作应该是第二行加上第一行的3倍

即

E_{21}^{'} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

也就是说对一个矩阵A来说，做了 $E_{21}$ 和 $E_{21}^{'}$ 应该是没变换，换句话说就是

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

也就是说取每行1倍不做变化这相当于1的效果，这个就是单位矩阵I