Lecture 06 & Reading 3.1, 3.2 向量空间与子空间列空间零空间

Vector Spaces

Space -- 空间 -- 一整个空间的向量 -- 但并不是任何向量的组合就能称为空间

我们从最大的空间说起 $R^{1}, R^{2}, R^{3}, . . .$ R是说实数，而上面的数字说明向量用几个实数表示

$R^{2}$ 就是xy plane内的所有的向量的集合，当然这包括零向量

我们都知道，本质上向量有加法，有数乘运算 -- 而所谓的向量空间就是说 -- 空间中的向量任意相加，任意数乘，任意数乘相加(线性组合) 都要在这个平面内

子空间是空间的一个特殊子集

比如在 $R^{2}$ 中，穿过零点的一条直线就是一个子空间，因为它是 $R^{2}$ 空间中向量的一部分，但是这条直线上的向量也满足空间的定义

类似的， $R^{3}$ 中穿过原点的平面也是一个子空间

这里都提到了原点，是因为满足数乘的时候，任意向量乘0都是0向量 -- 所以空间必须穿过原点

本质上列空间是特殊的子空间

3 by 2矩阵 -> 列空间 -> 线性组合 -> 乘法: 表示出三维空间中的一个二维子空间 -> Ax=b有解和无解

对于一个矩阵，我们知道矩阵实际上可以看做是列向量的排列组合，比如下面的矩阵A

A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{matrix}]

这实际上是 $R^{4}$ 空间中的一个三个向量，按理说这三个向量应该在一个 $R^{4}$ 空间的三维空间中，也可能是二维甚至是一维（因为有的向量可能并没有对章成平面起作用）

但不管怎么说，这三个列向量的线性组合一定是一个空间，而这个空间就叫做列空间

前面我们又学过，线性组合实际上就是矩阵乘法

A x = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]

这其实就是 $R^{4}$ 的一个子空间

那对于方程组 $A x = b$ 什么时候有解呢？

A x = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ b_{4} \end{matrix}]

其实这个问题很好想了，如果b落在了Ax这个子空间中，也就是说b能够被A中三个列向量的线性组合表示出来那就是存在要给组合x1,x2,x3 那就是有解

相反的，如果b落在了这个子空间的外面，那就不存在组合x1, x2, x3能够表示b了

当然值得注意的是，老师取得这个例子很有趣，你会发现其实这只是 $R^{4}$ 空间中的一个二维子空间 -- 一个平面，因为第三个向量能够被前两个向量表示出来，这叫做线性相关，而这也就意味着可以随意加减组合得到同样的效果 -- 造成多解

或者从方程组的角度这就是四个方程三个未知数

所谓的零空间就是 $A x = 0$ 的所有的解x所组成的整个空间

仍然是上面这个例子

A x = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

all solutions x to Ax=0 是 $R^{3}$ 的一个空间

其实很容易的就能通过列向量发现几个解，比如0,0,0 1,1,-1 ...

更普遍的能发现实际上解是 $c [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ , 这是 $R^{3}$ 的一个子空间，是一条直线

对于

A x = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}]

我们能很简单的写出几个解，比如(1,0,0) 比如(0,-1,1)

但不管怎么说，这个解集x不是 $R^{3}$ 的一个空间，因为他根本没有经过零点，取不到(0,0,0)

其实这里虽然老师没提，但是如果深入思考一下你就会发现

对于这种无数解的情况(向量中存在线性相关，目标向量在这些列向量组成的空间中)，我们之前学的非齐次通解 = 齐次方程通解 + 非齐次特解实际上就是零空间+特解

因为你会发现实际上在这个例子中，零空间是一条直线，而且零空间实际上对A的结果并没有影响因为Ax=0 而加上一个特解实际上就是这个特解在这条直线上平移的结果 -- 就是所有的解

这个后面应该会再提到