Lecture 08 求解Ax=b 可解性和解的结构

满秩

列满秩 r=n 没有自由变量 N(A) = zero vector x=xp -- 如果解存在解唯一要么无解

行满秩 r=m 没有零行对任意b都有解

r=n=m 可逆矩阵 R=I 零空间 0向量 b什么要求都没有

today's agenda: 求解Ax=b 有解还是无解？有解的话是唯一解还是无数解？

仍然还是上个Lecture的例子

\begin{array}{r} x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = b_{1} \\ 2 x_{1} + 4 x_{2} + 6 x_{3} + 8 x_{4} = b_{2} \\ 3 x_{1} + 6 x_{2} + 8 x_{3} + 10 x_{4} = b_{3} \end{array}

仍然还是消元法，之前学过，消元法实际本质上就是做的是行变换，同样的变换要作用在b上面，这里直接写到一个矩阵里，这个矩阵就是增广矩阵

[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b 1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_{2} \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_{3} \end{array}]

处理成 -- 行阶梯型矩阵

[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b 1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_{2} \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_{2} - b_{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_{3} - b_{2} - b_{1} \end{array}]

其实很明显最后一行所对应的方程是 $0 x_{1} + 0 x_{2} + 0 x_{3} + 0 x_{4} = b_{3} - b_{2} - b_{1}$ 也就是说，要想Ax=b有解， $b_{3} - b_{2} - b_{1}$ 需要等于0 -- 换句话说，如果A各行的线性组合得到零行 b同样组合也必须为零。

再换句话说就是b要在A的列空间中

这两句话是等价的

具体求解的算法是这样的

找particular solution(特解) -- 一个好的方法将自由变量设置为0 求出Ax=b中的主变量
加上Ax=0的零空间

对于一个具体的例子是这样的

其实特解+零空间是合理的，因为

\begin{array}{r} A x_{n u l l s a p c e} = 0 \\ A x_{s p e c i a l} = b \end{array} \to A (x_{n u l l s p a c e} + x_{s p e c i a l}) = b

对于上面的例子，其实能发现最后的解的空间实际上是类似四维子空间的一个空间，后面的零空间是一个子空间，然后子空间的每个向量都加上了一个特解的向量，构成了一个新的平面（就像平移了一样）

上一个Lecture提到过秩的定义，当时提到的秩实际上就是主元变量或者说主元列的个数

这里更加深入的来探讨了对于不同秩的矩阵A的Ax=b的可解性

对于一个m by n的矩阵，秩为r

对于列满秩的一个矩阵A, 也就是说有多少列就有多少个主元，比如

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 8 \\ 3 & 10 \end{matrix}] \to [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

由于上个lecture的笔记中其实提到过，自由变量的个数实际上是零空间的维度，所以其实对于Ax=0来说，零空间只有零向量，那么最后的通解就取决于Ax=b有没有特解

如果有特解，那么解是唯一的
如果没有特解，那就是无解

对于行满秩的一个矩阵A, 也就是说有都少行就有多少个主元，比如

[\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \end{matrix}] \to [\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

在消元过程中不会出现零行所以对b实际上没有要求，b取什么都会在A中的列空间中

同样的，根据上个Lecture的内容，Ax=0存在零空间

所以对于行满秩实际上是无数解

对于r=n=m的矩阵 -- 满秩方阵比如

[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}]

最终的最简行阶梯型矩阵一定是I，同样的，零空间是zero vector

所以Ax=b 肯定有解且是唯一解